Leysa {l}{x+y=220}{3/5x=38y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 3 } { 5 } x = 38 y - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{41775}{193} = 216\frac{87}{193} \approx 216.450777202$$

$$y = \frac{685}{193} = 3\frac{106}{193} \approx 3.549222798$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 38y frá báðum hliðum.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=220$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+220$$

Settu -y+220 inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{3}{5}x-38y=-5.

$$\frac{3}{5}\left(-y+220\right)-38y=-5$$

Margfaldaðu \frac{3}{5} sinnum -y+220.

$$-\frac{3}{5}y+132-38y=-5$$

Leggðu -\frac{3y}{5} saman við -38y.

$$-\frac{193}{5}y+132=-5$$

Dragðu 132 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{193}{5}y=-137$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{193}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{685}{193}$$

Skiptu \frac{685}{193} út fyrir y í x=-y+220. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{685}{193}+220$$

Leggðu 220 saman við -\frac{685}{193}.

$$x=\frac{41775}{193}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 38y frá báðum hliðum.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{38}{-38-\frac{3}{5}}&-\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\\-\frac{\frac{3}{5}}{-38-\frac{3}{5}}&\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}&\frac{5}{193}\\\frac{3}{193}&-\frac{5}{193}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}\times 220+\frac{5}{193}\left(-5\right)\\\frac{3}{193}\times 220-\frac{5}{193}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41775}{193}\\\frac{685}{193}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 38y frá báðum hliðum.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Til að gera x og \frac{3x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{3}{5} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=\frac{3}{5}\times 220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Einfaldaðu.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Dragðu \frac{3}{5}x-38y=-5 frá \frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

Leggðu \frac{3x}{5} saman við -\frac{3x}{5}. Liðirnir \frac{3x}{5} og -\frac{3x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

Leggðu \frac{3y}{5} saman við 38y.

$$\frac{193}{5}y=132+5$$

Leggðu 132 saman við 5.

$$\frac{193}{5}y=137$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{193}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{685}{193}$$

Skiptu \frac{685}{193} út fyrir y í \frac{3}{5}x-38y=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{3}{5}x-38\times \frac{685}{193}=-5$$

Margfaldaðu -38 sinnum \frac{685}{193}.

$$\frac{3}{5}x-\frac{26030}{193}=-5$$

Leggðu \frac{26030}{193} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{3}{5}x=\frac{25065}{193}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{41775}{193}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$