Leysa {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=100$$

$$y=120$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{3}{8}y frá báðum hliðum.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=220$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+220$$

Settu -y+220 inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5.

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

Margfaldaðu \frac{2}{5} sinnum -y+220.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

Leggðu -\frac{2y}{5} saman við -\frac{3y}{8}.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

Dragðu 88 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{31}{40}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=120$$

Skiptu 120 út fyrir y í x=-y+220. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-120+220$$

Leggðu 220 saman við -120.

$$x=100$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=100,y=120$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{3}{8}y frá báðum hliðum.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=100,y=120$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{3}{8}y frá báðum hliðum.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Til að gera x og \frac{2x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{2}{5} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Einfaldaðu.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Dragðu \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 frá \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Leggðu \frac{2x}{5} saman við -\frac{2x}{5}. Liðirnir \frac{2x}{5} og -\frac{2x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Leggðu \frac{2y}{5} saman við \frac{3y}{8}.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

Leggðu 88 saman við 5.

$$\frac{31}{40}y=93$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{31}{40}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=120$$

Skiptu 120 út fyrir y í \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

Margfaldaðu -\frac{3}{8} sinnum 120.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

Leggðu 45 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{2}{5}x=40$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=100$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=100,y=120$$