Leysa {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=96$$

$$y=108$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{3}{4}x frá báðum hliðum.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=204$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+204$$

Settu -y+204 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0.

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum -y+204.

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

Leggðu \frac{3y}{4} saman við \frac{2y}{3}.

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

Leggðu 153 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{17}{12}y=153$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{17}{12}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=108$$

Skiptu 108 út fyrir y í x=-y+204. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-108+204$$

Leggðu 204 saman við -108.

$$x=96$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=96,y=108$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{3}{4}x frá báðum hliðum.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=96,y=108$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{3}{4}x frá báðum hliðum.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Til að gera x og -\frac{3x}{4} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -\frac{3}{4} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Einfaldaðu.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Dragðu -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 frá -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Leggðu -\frac{3x}{4} saman við \frac{3x}{4}. Liðirnir -\frac{3x}{4} og \frac{3x}{4} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Leggðu -\frac{3y}{4} saman við -\frac{2y}{3}.

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{17}{12}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=108$$

Skiptu 108 út fyrir y í -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum 108.

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

Dragðu 72 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=96$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=96,y=108$$