Leysa {l}{x+y=20}{2x-y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 20 } \\ { 2 x - y = - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=15$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=20,2x-y=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=20$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+20$$

Settu -y+20 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-y=-5.

$$2\left(-y+20\right)-y=-5$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+20.

$$-2y+40-y=-5$$

Leggðu -2y saman við -y.

$$-3y+40=-5$$

Dragðu 40 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-45$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=15$$

Skiptu 15 út fyrir y í x=-y+20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-15+20$$

Leggðu 20 saman við -15.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=15$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=20,2x-y=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 20+\frac{1}{3}\left(-5\right)\\\frac{2}{3}\times 20-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=15$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=20,2x-y=-5$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2y=2\times 20,2x-y=-5$$

Einfaldaðu.

$$2x+2y=40,2x-y=-5$$

Dragðu 2x-y=-5 frá 2x+2y=40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+2y+y=40+5$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+y=40+5$$

Leggðu 2y saman við y.

$$3y=40+5$$

Leggðu 40 saman við 5.

$$3y=45$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=15$$

Skiptu 15 út fyrir y í 2x-y=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-15=-5$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=15$$