Leysa {l}{x+y=-1}{5x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - 1 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=-1,5x+2y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=-1$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y-1$$

Settu -y-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+2y=7.

$$5\left(-y-1\right)+2y=7$$

Margfaldaðu 5 sinnum -y-1.

$$-5y-5+2y=7$$

Leggðu -5y saman við 2y.

$$-3y-5=7$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3y=12$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=-y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-4\right)-1$$

Margfaldaðu -1 sinnum -4.

$$x=4-1$$

Leggðu -1 saman við 4.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=-1,5x+2y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-5}&-\frac{1}{2-5}\\-\frac{5}{2-5}&\frac{1}{2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 7\\\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=-1,5x+2y=7$$

Til að gera x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$5x+5y=5\left(-1\right),5x+2y=7$$

Einfaldaðu.

$$5x+5y=-5,5x+2y=7$$

Dragðu 5x+2y=7 frá 5x+5y=-5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x+5y-2y=-5-7$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y-2y=-5-7$$

Leggðu 5y saman við -2y.

$$3y=-5-7$$

Leggðu -5 saman við -7.

$$3y=-12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í 5x+2y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+2\left(-4\right)=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum -4.

$$5x-8=7$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-4$$