Leysa {l}{x+my=a}{x-ny=b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+my=a$$

Dragðu my frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

Settu a-my inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

Leggðu -my saman við -ny.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

Dragðu a frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

Deildu báðum hliðum með -m-n.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Skiptu -\frac{b-a}{m+n} út fyrir y í x=\left(-m\right)y+a. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

Margfaldaðu -m sinnum -\frac{b-a}{m+n}.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

Leggðu a saman við \frac{m\left(b-a\right)}{m+n}.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Dragðu x+\left(-n\right)y=b frá x+my=a með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+my+ny=a-b$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$my+ny=a-b$$

Leggðu my saman við ny.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

Deildu báðum hliðum með m+n.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

Skiptu \frac{a-b}{m+n} út fyrir y í x+\left(-n\right)y=b. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

Margfaldaðu -n sinnum \frac{a-b}{m+n}.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

Leggðu \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$