Leysa {l}{x+5y=5}{3x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+5y=5$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-5y+5$$

Settu -5y+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=3.

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

Margfaldaðu 3 sinnum -5y+5.

$$-15y+15-2y=3$$

Leggðu -15y saman við -2y.

$$-17y+15=3$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-17y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -17.

$$y=\frac{12}{17}$$

Skiptu \frac{12}{17} út fyrir y í x=-5y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{12}{17}.

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

Leggðu 5 saman við -\frac{60}{17}.

$$x=\frac{25}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

Einfaldaðu.

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

Dragðu 3x-2y=3 frá 3x+15y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y+2y=15-3$$

Leggðu 15y saman við 2y.

$$17y=15-3$$

Leggðu 15 saman við -3.

$$17y=12$$

Deildu báðum hliðum með 17.

$$y=\frac{12}{17}$$

Skiptu \frac{12}{17} út fyrir y í 3x-2y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{12}{17}.

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

Leggðu \frac{24}{17} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{75}{17}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{25}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$