Leysa {l}{x+4y=7}{2x-7y=-31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 7 } \\ { 2 x - 7 y = - 31 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+4y=7$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-4y+7$$

Settu -4y+7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-7y=-31.

$$2\left(-4y+7\right)-7y=-31$$

Margfaldaðu 2 sinnum -4y+7.

$$-8y+14-7y=-31$$

Leggðu -8y saman við -7y.

$$-15y+14=-31$$

Dragðu 14 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-15y=-45$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-4y+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-4\times 3+7$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$x=-12+7$$

Leggðu 7 saman við -12.

$$x=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-4\times 2}&-\frac{4}{-7-4\times 2}\\-\frac{2}{-7-4\times 2}&\frac{1}{-7-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}\times 7+\frac{4}{15}\left(-31\right)\\\frac{2}{15}\times 7-\frac{1}{15}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-5,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\times 4y=2\times 7,2x-7y=-31$$

Einfaldaðu.

$$2x+8y=14,2x-7y=-31$$

Dragðu 2x-7y=-31 frá 2x+8y=14 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+8y+7y=14+31$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y+7y=14+31$$

Leggðu 8y saman við 7y.

$$15y=14+31$$

Leggðu 14 saman við 31.

$$15y=45$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 2x-7y=-31. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-7\times 3=-31$$

Margfaldaðu -7 sinnum 3.

$$2x-21=-31$$

Leggðu 21 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=-10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=3$$