Leysa {l}{x+4y=-1}{2x-4y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = - 1 } \\ { 2 x - 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+4y=-1$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-4y-1$$

Settu -4y-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-4y=4.

$$2\left(-4y-1\right)-4y=4$$

Margfaldaðu 2 sinnum -4y-1.

$$-8y-2-4y=4$$

Leggðu -8y saman við -4y.

$$-12y-2=4$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-12y=6$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í x=-4y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)-1$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{1}{2}.

$$x=2-1$$

Leggðu -1 saman við 2.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-4\times 2}&-\frac{4}{-4-4\times 2}\\-\frac{2}{-4-4\times 2}&\frac{1}{-4-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{12}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\times 4y=2\left(-1\right),2x-4y=4$$

Einfaldaðu.

$$2x+8y=-2,2x-4y=4$$

Dragðu 2x-4y=4 frá 2x+8y=-2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+8y+4y=-2-4$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y+4y=-2-4$$

Leggðu 8y saman við 4y.

$$12y=-2-4$$

Leggðu -2 saman við -4.

$$12y=-6$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í 2x-4y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-4\left(-\frac{1}{2}\right)=4$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{1}{2}.

$$2x+2=4$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$