Leysa {l}{x+3y=6}{2x+y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+3y=6$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-3y+6$$

Settu -3y+6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=7.

$$2\left(-3y+6\right)+y=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum -3y+6.

$$-6y+12+y=7$$

Leggðu -6y saman við y.

$$-5y+12=7$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-5$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-3y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3+6$$

Leggðu 6 saman við -3.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 2}&-\frac{3}{1-3\times 2}\\-\frac{2}{1-3\times 2}&\frac{1}{1-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 6+\frac{3}{5}\times 7\\\frac{2}{5}\times 6-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\times 3y=2\times 6,2x+y=7$$

Einfaldaðu.

$$2x+6y=12,2x+y=7$$

Dragðu 2x+y=7 frá 2x+6y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+6y-y=12-7$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-y=12-7$$

Leggðu 6y saman við -y.

$$5y=12-7$$

Leggðu 12 saman við -7.

$$5y=5$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 2x+y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+1=7$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=1$$