Leysa {l}{x+3y=19}{3y+7=x+2y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 19 } \\ { 3 y + 7 = x + 2 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$3y+7-x=2y$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$3y+7-x-2y=0$$

Sameinaðu 3y og -2y til að fá y.

$$y+7-x=0$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y-x=-7$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+3y=19$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-3y+19$$

Settu -3y+19 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+y=-7.

$$-\left(-3y+19\right)+y=-7$$

Margfaldaðu -1 sinnum -3y+19.

$$3y-19+y=-7$$

Leggðu 3y saman við y.

$$4y-19=-7$$

Leggðu 19 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4y=12$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-3y+19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3\times 3+19$$

Margfaldaðu -3 sinnum 3.

$$x=-9+19$$

Leggðu 19 saman við -9.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$3y+7-x=2y$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$3y+7-x-2y=0$$

Sameinaðu 3y og -2y til að fá y.

$$y+7-x=0$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y-x=-7$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{1-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-3\left(-1\right)}&\frac{1}{1-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 19-\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}\times 19+\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$3y+7-x=2y$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$3y+7-x-2y=0$$

Sameinaðu 3y og -2y til að fá y.

$$y+7-x=0$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y-x=-7$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

Til að gera x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-x-3y=-19,-x+y=-7$$

Dragðu -x+y=-7 frá -x-3y=-19 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x+x-3y-y=-19+7$$

Leggðu -x saman við x. Liðirnir -x og x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-y=-19+7$$

Leggðu -3y saman við -y.

$$-4y=-19+7$$

Leggðu -19 saman við 7.

$$-4y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í -x+y=-7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+3=-7$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-10$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=3$$