Leysa {l}{x+2y=7}{y-x=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { y - x = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=7$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+7$$

Settu -2y+7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+y=1.

$$-\left(-2y+7\right)+y=1$$

Margfaldaðu -1 sinnum -2y+7.

$$2y-7+y=1$$

Leggðu 2y saman við y.

$$3y-7=1$$

Leggðu 7 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=8$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{8}{3}$$

Skiptu \frac{8}{3} út fyrir y í x=-2y+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{8}{3}+7$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{8}{3}.

$$x=-\frac{16}{3}+7$$

Leggðu 7 saman við -\frac{16}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 7-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\times 7+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

Til að gera x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-x-2y=-7,-x+y=1$$

Dragðu -x+y=1 frá -x-2y=-7 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x+x-2y-y=-7-1$$

Leggðu -x saman við x. Liðirnir -x og x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-y=-7-1$$

Leggðu -2y saman við -y.

$$-3y=-7-1$$

Leggðu -7 saman við -1.

$$-3y=-8$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=\frac{8}{3}$$

Skiptu \frac{8}{3} út fyrir y í -x+y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+\frac{8}{3}=1$$

Dragðu \frac{8}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-\frac{5}{3}$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=\frac{5}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$