Leysa {l}{x+2y=7}{4x+3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=7$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+7$$

Settu -2y+7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+3y=8.

$$4\left(-2y+7\right)+3y=8$$

Margfaldaðu 4 sinnum -2y+7.

$$-8y+28+3y=8$$

Leggðu -8y saman við 3y.

$$-5y+28=8$$

Dragðu 28 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-20$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=-2y+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times 4+7$$

Margfaldaðu -2 sinnum 4.

$$x=-8+7$$

Leggðu 7 saman við -8.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{1}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 8\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

Til að gera x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$4x+4\times 2y=4\times 7,4x+3y=8$$

Einfaldaðu.

$$4x+8y=28,4x+3y=8$$

Dragðu 4x+3y=8 frá 4x+8y=28 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+8y-3y=28-8$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-3y=28-8$$

Leggðu 8y saman við -3y.

$$5y=28-8$$

Leggðu 28 saman við -8.

$$5y=20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 4x+3y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+3\times 4=8$$

Margfaldaðu 3 sinnum 4.

$$4x+12=8$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=4$$