Leysa {l}{x+2y=6}{x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 6 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=6,x-y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=6$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+6$$

Settu -2y+6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=2.

$$-2y+6-y=2$$

Leggðu -2y saman við -y.

$$-3y+6=2$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-4$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=\frac{4}{3}$$

Skiptu \frac{4}{3} út fyrir y í x=-2y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{4}{3}+6$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{4}{3}.

$$x=-\frac{8}{3}+6$$

Leggðu 6 saman við -\frac{8}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{10}{3},y=\frac{4}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=6,x-y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\times 2\\\frac{1}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{10}{3},y=\frac{4}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=6,x-y=2$$

Dragðu x-y=2 frá x+2y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+2y+y=6-2$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+y=6-2$$

Leggðu 2y saman við y.

$$3y=6-2$$

Leggðu 6 saman við -2.

$$3y=4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{4}{3}$$

Skiptu \frac{4}{3} út fyrir y í x-y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-\frac{4}{3}=2$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{10}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{10}{3},y=\frac{4}{3}$$