Leysa {l}{x+2y=2m}{3x+5y=m-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 2 m } \\ { 3 x + 5 y = m - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-8m-2$$

$$y=5m+1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=2m$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+2m$$

Settu -2y+2m inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+5y=m-1.

$$3\left(-2y+2m\right)+5y=m-1$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2y+2m.

$$-6y+6m+5y=m-1$$

Leggðu -6y saman við 5y.

$$-y+6m=m-1$$

Dragðu 6m frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-5m-1$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=5m+1$$

Skiptu 5m+1 út fyrir y í x=-2y+2m. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\left(5m+1\right)+2m$$

Margfaldaðu -2 sinnum 5m+1.

$$x=-10m-2+2m$$

Leggðu 2m saman við -10m-2.

$$x=-8m-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 3}&-\frac{2}{5-2\times 3}\\-\frac{3}{5-2\times 3}&\frac{1}{5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 2m+2\left(m-1\right)\\3\times 2m-\left(m-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8m-2\\5m+1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\times 2y=3\times 2m,3x+5y=m-1$$

Einfaldaðu.

$$3x+6y=6m,3x+5y=m-1$$

Dragðu 3x+5y=m-1 frá 3x+6y=6m með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+6y-5y=6m+1-m$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-5y=6m+1-m$$

Leggðu 6y saman við -5y.

$$y=6m+1-m$$

Leggðu 6m saman við -m+1.

$$y=5m+1$$

Skiptu 1+5m út fyrir y í 3x+5y=m-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+5\left(5m+1\right)=m-1$$

Margfaldaðu 5 sinnum 1+5m.

$$3x+25m+5=m-1$$

Dragðu 5+25m frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-24m-6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-8m-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$