Leysa {l}{x+2y=-18}{3x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 18 } \\ { 3 x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7} \approx -2.857142857$$

$$y = -\frac{53}{7} = -7\frac{4}{7} \approx -7.571428571$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=-18$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y-18$$

Settu -2y-18 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-y=-1.

$$3\left(-2y-18\right)-y=-1$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2y-18.

$$-6y-54-y=-1$$

Leggðu -6y saman við -y.

$$-7y-54=-1$$

Leggðu 54 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-7y=53$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=-\frac{53}{7}$$

Skiptu -\frac{53}{7} út fyrir y í x=-2y-18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\left(-\frac{53}{7}\right)-18$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{53}{7}.

$$x=\frac{106}{7}-18$$

Leggðu -18 saman við \frac{106}{7}.

$$x=-\frac{20}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{2}{7}\left(-1\right)\\\frac{3}{7}\left(-18\right)-\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{7}\\-\frac{53}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-18\right),3x-y=-1$$

Einfaldaðu.

$$3x+6y=-54,3x-y=-1$$

Dragðu 3x-y=-1 frá 3x+6y=-54 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+6y+y=-54+1$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+y=-54+1$$

Leggðu 6y saman við y.

$$7y=-54+1$$

Leggðu -54 saman við 1.

$$7y=-53$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=-\frac{53}{7}$$

Skiptu -\frac{53}{7} út fyrir y í 3x-y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-\left(-\frac{53}{7}\right)=-1$$

Dragðu \frac{53}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-\frac{60}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-\frac{20}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$