Leysa {l}{x+2y=-12}{3x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 12 } \\ { 3 x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=-12$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y-12$$

Settu -2y-12 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-y=-1.

$$3\left(-2y-12\right)-y=-1$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2y-12.

$$-6y-36-y=-1$$

Leggðu -6y saman við -y.

$$-7y-36=-1$$

Leggðu 36 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-7y=35$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í x=-2y-12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\left(-5\right)-12$$

Margfaldaðu -2 sinnum -5.

$$x=10-12$$

Leggðu -12 saman við 10.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\left(-1\right)\\\frac{3}{7}\left(-12\right)-\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=-5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-12\right),3x-y=-1$$

Einfaldaðu.

$$3x+6y=-36,3x-y=-1$$

Dragðu 3x-y=-1 frá 3x+6y=-36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+6y+y=-36+1$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+y=-36+1$$

Leggðu 6y saman við y.

$$7y=-36+1$$

Leggðu -36 saman við 1.

$$7y=-35$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í 3x-y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-\left(-5\right)=-1$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-5$$