Leysa {l}{k+b=0}{1+5k+b=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { k + b = 0 } \\ { 1 + 5 k + b = 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir k, b

$$k = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$b = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$k+b=0,5k+b+1=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu k með því að einangra k vinstra megin við samasemmerkið.

$$k+b=0$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$k=-b$$

Settu -b inn fyrir k í hinni jöfnunni, 5k+b+1=15.

$$5\left(-1\right)b+b+1=15$$

Margfaldaðu 5 sinnum -b.

$$-5b+b+1=15$$

Leggðu -5b saman við b.

$$-4b+1=15$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4b=14$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$b=-\frac{7}{2}$$

Skiptu -\frac{7}{2} út fyrir b í k=-b. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst k strax.

$$k=-\left(-\frac{7}{2}\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{7}{2}.

$$k=\frac{7}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=\frac{7}{2},b=-\frac{7}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$k+b=0,5k+b+1=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-5}&-\frac{1}{1-5}\\-\frac{5}{1-5}&\frac{1}{1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 14\\-\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna k og b.

$$k=\frac{7}{2},b=-\frac{7}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$k+b=0,5k+b+1=15$$

Dragðu 5k+b+1=15 frá k+b=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$k-5k+b-b-1=-15$$

Leggðu b saman við -b. Liðirnir b og -b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$k-5k-1=-15$$

Leggðu k saman við -5k.

$$-4k-1=-15$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4k=-14$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$k=\frac{7}{2}$$

Skiptu \frac{7}{2} út fyrir k í 5k+b+1=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$5\times \frac{7}{2}+b+1=15$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{7}{2}.

$$\frac{35}{2}+b+1=15$$

Leggðu \frac{35}{2} saman við 1.

$$b+\frac{37}{2}=15$$

Dragðu \frac{37}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$b=-\frac{7}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=\frac{7}{2},b=-\frac{7}{2}$$