Leysa {l}{ax+by=e}{cx+dy=f}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = e } \\ { c x + d y = f } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$ax+by=e$$

Dragðu by frá báðum hliðum jöfnunar.

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

Deildu báðum hliðum með a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{a} sinnum -by+e.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

Settu \frac{-by+e}{a} inn fyrir x í hinni jöfnunni, cx+dy=f.

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

Margfaldaðu c sinnum \frac{-by+e}{a}.

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

Leggðu -\frac{cby}{a} saman við dy.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

Dragðu \frac{ce}{a} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

Deildu báðum hliðum með d-\frac{cb}{a}.

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Skiptu \frac{fa-ce}{da-cb} út fyrir y í x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

Margfaldaðu -\frac{b}{a} sinnum \frac{fa-ce}{da-cb}.

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

Leggðu \frac{e}{a} saman við -\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Til að gera ax og cx jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með c og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með a.

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

Einfaldaðu.

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

Dragðu acx+ady=af frá acx+bcy=ec með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Leggðu cax saman við -cax. Liðirnir cax og -cax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Leggðu cby saman við -ady.

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

Deildu báðum hliðum með cb-ad.

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Skiptu \frac{ce-af}{cb-ad} út fyrir y í cx+dy=f. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

Margfaldaðu d sinnum \frac{ce-af}{cb-ad}.

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

Dragðu \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

Deildu báðum hliðum með c.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$ax+by=e$$

Dragðu by frá báðum hliðum jöfnunar.

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

Deildu báðum hliðum með a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{a} sinnum -by+e.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

Settu \frac{-by+e}{a} inn fyrir x í hinni jöfnunni, cx+dy=f.

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

Margfaldaðu c sinnum \frac{-by+e}{a}.

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

Leggðu -\frac{cby}{a} saman við dy.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

Dragðu \frac{ce}{a} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

Deildu báðum hliðum með d-\frac{cb}{a}.

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Skiptu \frac{fa-ce}{da-cb} út fyrir y í x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

Margfaldaðu -\frac{b}{a} sinnum \frac{fa-ce}{da-cb}.

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

Leggðu \frac{e}{a} saman við -\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Til að gera ax og cx jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með c og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með a.

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

Einfaldaðu.

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

Dragðu acx+ady=af frá acx+bcy=ec með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Leggðu cax saman við -cax. Liðirnir cax og -cax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Leggðu cby saman við -ady.

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

Deildu báðum hliðum með cb-ad.

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Skiptu \frac{ce-af}{cb-ad} út fyrir y í cx+dy=f. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

Margfaldaðu d sinnum \frac{ce-af}{cb-ad}.

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

Dragðu \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

Deildu báðum hliðum með c.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$