Leysa {l}{a+b=5}{b+2a=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + b = 5 } \\ { b + 2 a = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=-1$$

$$b=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$a+b=5,2a+b=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$a+b=5$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a=-b+5$$

Settu -b+5 inn fyrir a í hinni jöfnunni, 2a+b=4.

$$2\left(-b+5\right)+b=4$$

Margfaldaðu 2 sinnum -b+5.

$$-2b+10+b=4$$

Leggðu -2b saman við b.

$$-b+10=4$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-b=-6$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$b=6$$

Skiptu 6 út fyrir b í a=-b+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-6+5$$

Leggðu 5 saman við -6.

$$a=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-1,b=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$a+b=5,2a+b=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+4\\2\times 5-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=-1,b=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$a+b=5,2a+b=4$$

Dragðu 2a+b=4 frá a+b=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$a-2a+b-b=5-4$$

Leggðu b saman við -b. Liðirnir b og -b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$a-2a=5-4$$

Leggðu a saman við -2a.

$$-a=5-4$$

Leggðu 5 saman við -4.

$$-a=1$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$a=-1$$

Skiptu -1 út fyrir a í 2a+b=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$2\left(-1\right)+b=4$$

Margfaldaðu 2 sinnum -1.

$$-2+b=4$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$b=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-1,b=6$$