Leysa {l}{a+5b=2}{a-2b=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 5 b = 2 } \\ { a - 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

$$b=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$a+5b=2$$

Dragðu 5b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a=-5b+2$$

Settu -5b+2 inn fyrir a í hinni jöfnunni, a-2b=1.

$$-5b+2-2b=1$$

Leggðu -5b saman við -2b.

$$-7b+2=1$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7b=-1$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$b=\frac{1}{7}$$

Skiptu \frac{1}{7} út fyrir b í a=-5b+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-5\times \frac{1}{7}+2$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{1}{7}.

$$a=-\frac{5}{7}+2$$

Leggðu 2 saman við -\frac{5}{7}.

$$a=\frac{9}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}\times 2-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}\\\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Dragðu a-2b=1 frá a+5b=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$a-a+5b+2b=2-1$$

Leggðu a saman við -a. Liðirnir a og -a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5b+2b=2-1$$

Leggðu 5b saman við 2b.

$$7b=2-1$$

Leggðu 2 saman við -1.

$$7b=1$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$b=\frac{1}{7}$$

Skiptu \frac{1}{7} út fyrir b í a-2b=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a-2\times \frac{1}{7}=1$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{1}{7}.

$$a-\frac{2}{7}=1$$

Leggðu \frac{2}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$a=\frac{9}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$