Leysa {l}{a+4b=8}{3b=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 4 b = 8 } \\ { 3 b = 5 - a } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=-4$$

$$b=3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu a við báðar hliðar.

$$3b+a=5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$a+4b=8$$

Dragðu 4b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a=-4b+8$$

Settu -4b+8 inn fyrir a í hinni jöfnunni, a+3b=5.

$$-4b+8+3b=5$$

Leggðu -4b saman við 3b.

$$-b+8=5$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-b=-3$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$b=3$$

Skiptu 3 út fyrir b í a=-4b+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-4\times 3+8$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$a=-12+8$$

Leggðu 8 saman við -12.

$$a=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-4,b=3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu a við báðar hliðar.

$$3b+a=5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{1}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 8+4\times 5\\8-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=-4,b=3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu a við báðar hliðar.

$$3b+a=5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Dragðu a+3b=5 frá a+4b=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$a-a+4b-3b=8-5$$

Leggðu a saman við -a. Liðirnir a og -a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4b-3b=8-5$$

Leggðu 4b saman við -3b.

$$b=8-5$$

Leggðu 8 saman við -5.

$$b=3$$

Skiptu 3 út fyrir b í a+3b=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a+3\times 3=5$$

Margfaldaðu 3 sinnum 3.

$$a+9=5$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-4,b=3$$