Leysa {l}{a+3b=2}{2a-3b=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 3 b = 2 } \\ { 2 a - 3 b = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$b=-\frac{4}{9}\approx -0.444444444$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$a+3b=2$$

Dragðu 3b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a=-3b+2$$

Settu -3b+2 inn fyrir a í hinni jöfnunni, 2a-3b=8.

$$2\left(-3b+2\right)-3b=8$$

Margfaldaðu 2 sinnum -3b+2.

$$-6b+4-3b=8$$

Leggðu -6b saman við -3b.

$$-9b+4=8$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-9b=4$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$b=-\frac{4}{9}$$

Skiptu -\frac{4}{9} út fyrir b í a=-3b+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-3\left(-\frac{4}{9}\right)+2$$

Margfaldaðu -3 sinnum -\frac{4}{9}.

$$a=\frac{4}{3}+2$$

Leggðu 2 saman við \frac{4}{3}.

$$a=\frac{10}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\times 2}&-\frac{3}{-3-3\times 2}\\-\frac{2}{-3-3\times 2}&\frac{1}{-3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 8\\\frac{2}{9}\times 2-\frac{1}{9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

Til að gera a og 2a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2a+2\times 3b=2\times 2,2a-3b=8$$

Einfaldaðu.

$$2a+6b=4,2a-3b=8$$

Dragðu 2a-3b=8 frá 2a+6b=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2a-2a+6b+3b=4-8$$

Leggðu 2a saman við -2a. Liðirnir 2a og -2a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6b+3b=4-8$$

Leggðu 6b saman við 3b.

$$9b=4-8$$

Leggðu 4 saman við -8.

$$9b=-4$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$b=-\frac{4}{9}$$

Skiptu -\frac{4}{9} út fyrir b í 2a-3b=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$2a-3\left(-\frac{4}{9}\right)=8$$

Margfaldaðu -3 sinnum -\frac{4}{9}.

$$2a+\frac{4}{3}=8$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2a=\frac{20}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$a=\frac{10}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$