Leysa {l}{9x-4y=8}{6x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x-4y=8$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9x=4y+8$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum 8+4y.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

Settu \frac{8+4y}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-2y=3.

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{8+4y}{9}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

Leggðu \frac{8y}{3} saman við -2y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

Dragðu \frac{16}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Skiptu -\frac{7}{2} út fyrir y í x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

Margfaldaðu \frac{4}{9} sinnum -\frac{7}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

Leggðu \frac{8}{9} saman við -\frac{14}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Til að gera 9x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

Einfaldaðu.

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

Dragðu 54x-18y=27 frá 54x-24y=48 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

Leggðu 54x saman við -54x. Liðirnir 54x og -54x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-24y+18y=48-27$$

Leggðu -24y saman við 18y.

$$-6y=48-27$$

Leggðu 48 saman við -27.

$$-6y=21$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Skiptu -\frac{7}{2} út fyrir y í 6x-2y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{7}{2}.

$$6x+7=3$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-4$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$