Leysa {l}{9x+2y=62}{4x+4y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x+2y=62$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=-2y+62$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -2y+62.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

Settu \frac{-2y+62}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+4y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-2y+62}{9}.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

Leggðu -\frac{8y}{9} saman við 4y.

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

Dragðu \frac{248}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{28}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{19}{7}$$

Skiptu \frac{19}{7} út fyrir y í x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{9} sinnum \frac{19}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

Leggðu \frac{62}{9} saman við -\frac{38}{63} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{44}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Til að gera 9x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

Einfaldaðu.

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

Dragðu 36x+36y=324 frá 36x+8y=248 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

Leggðu 36x saman við -36x. Liðirnir 36x og -36x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-36y=248-324$$

Leggðu 8y saman við -36y.

$$-28y=248-324$$

Leggðu 248 saman við -324.

$$-28y=-76$$

Deildu báðum hliðum með -28.

$$y=\frac{19}{7}$$

Skiptu \frac{19}{7} út fyrir y í 4x+4y=36. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{19}{7}.

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

Dragðu \frac{76}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=\frac{176}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{44}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$