Leysa {l}{9x+2y=62}{4x+3y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 3 y = 36 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x+2y=62$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=-2y+62$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -2y+62.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

Settu \frac{-2y+62}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+3y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+3y=36$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-2y+62}{9}.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+3y=36$$

Leggðu -\frac{8y}{9} saman við 3y.

$$\frac{19}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

Dragðu \frac{248}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{9}y=\frac{76}{9}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{9}\times 4+\frac{62}{9}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{9} sinnum 4.

$$x=\frac{-8+62}{9}$$

Leggðu \frac{62}{9} saman við -\frac{8}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 3-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 3-2\times 4}&\frac{9}{9\times 3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{9}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 62-\frac{2}{19}\times 36\\-\frac{4}{19}\times 62+\frac{9}{19}\times 36\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Til að gera 9x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 3y=9\times 36$$

Einfaldaðu.

$$36x+8y=248,36x+27y=324$$

Dragðu 36x+27y=324 frá 36x+8y=248 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$36x-36x+8y-27y=248-324$$

Leggðu 36x saman við -36x. Liðirnir 36x og -36x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-27y=248-324$$

Leggðu 8y saman við -27y.

$$-19y=248-324$$

Leggðu 248 saman við -324.

$$-19y=-76$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 4x+3y=36. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+3\times 4=36$$

Margfaldaðu 3 sinnum 4.

$$4x+12=36$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=24$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=4$$