Leysa {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=1$$

$$n=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$9m-13n=22$$

Leggðu 13n saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9m=13n+22$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum 13n+22.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

Settu \frac{13n+22}{9} inn fyrir m í hinni jöfnunni, 2m+3n=-1.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{13n+22}{9}.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

Leggðu \frac{26n}{9} saman við 3n.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

Dragðu \frac{44}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{53}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$n=-1$$

Skiptu -1 út fyrir n í m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

Margfaldaðu \frac{13}{9} sinnum -1.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

Leggðu \frac{22}{9} saman við -\frac{13}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$m=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=1,n=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=1,n=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Til að gera 9m og 2m jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

Dragðu 18m+27n=-9 frá 18m-26n=44 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

Leggðu 18m saman við -18m. Liðirnir 18m og -18m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-26n-27n=44+9$$

Leggðu -26n saman við -27n.

$$-53n=44+9$$

Leggðu 44 saman við 9.

$$-53n=53$$

Deildu báðum hliðum með -53.

$$n=-1$$

Skiptu -1 út fyrir n í 2m+3n=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

Margfaldaðu 3 sinnum -1.

$$2m-3=-1$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2m=2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$m=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=1,n=-1$$