Leysa {l}{8x+3y=25}{2x+3y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 25 } \\ { 2 x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x+3y=25$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=-3y+25$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+25\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -3y+25.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}$$

Settu \frac{-3y+25}{8} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=13.

$$2\left(-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}\right)+3y=13$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-3y+25}{8}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}+3y=13$$

Leggðu -\frac{3y}{4} saman við 3y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{25}{4}=13$$

Dragðu \frac{25}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{8}\times 3+\frac{25}{8}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{8} sinnum 3.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

Leggðu \frac{25}{8} saman við -\frac{9}{8} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-3\times 2}&-\frac{3}{8\times 3-3\times 2}\\-\frac{2}{8\times 3-3\times 2}&\frac{8}{8\times 3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25-\frac{1}{6}\times 13\\-\frac{1}{9}\times 25+\frac{4}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Dragðu 2x+3y=13 frá 8x+3y=25 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-2x+3y-3y=25-13$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8x-2x=25-13$$

Leggðu 8x saman við -2x.

$$6x=25-13$$

Leggðu 25 saman við -13.

$$6x=12$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í 2x+3y=13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2\times 2+3y=13$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$4+3y=13$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$