Leysa {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir k, a

$$k=-500$$

$$a=7650$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Veldu eina jöfnuna og leystu k með því að einangra k vinstra megin við samasemmerkið.

$$8k+a=3650$$

Dragðu a frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8k=-a+3650$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -a+3650.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

Settu -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} inn fyrir k í hinni jöfnunni, 15k+a=150.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

Margfaldaðu 15 sinnum -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

Leggðu -\frac{15a}{8} saman við a.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

Dragðu \frac{27375}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{8}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$a=7650$$

Skiptu 7650 út fyrir a í k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst k strax.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{8} sinnum 7650.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

Leggðu \frac{1825}{4} saman við -\frac{3825}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$k=-500$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=-500,a=7650$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna k og a.

$$k=-500,a=7650$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Dragðu 15k+a=150 frá 8k+a=3650 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

Leggðu a saman við -a. Liðirnir a og -a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8k-15k=3650-150$$

Leggðu 8k saman við -15k.

$$-7k=3650-150$$

Leggðu 3650 saman við -150.

$$-7k=3500$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$k=-500$$

Skiptu -500 út fyrir k í 15k+a=150. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

Margfaldaðu 15 sinnum -500.

$$-7500+a=150$$

Leggðu 7500 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$a=7650$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=-500,a=7650$$