Leysa {l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x-8y=9$$

Leggðu 8y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=8y+9$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum 8y+9.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

Settu \frac{8y+9}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-13y=-10.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{8y+9}{7}.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

Leggðu \frac{32y}{7} saman við -13y.

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

Dragðu \frac{36}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{59}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{106}{59}$$

Skiptu \frac{106}{59} út fyrir y í x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

Margfaldaðu \frac{8}{7} sinnum \frac{106}{59} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

Leggðu \frac{9}{7} saman við \frac{848}{413} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{197}{59}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Til að gera 7x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

Einfaldaðu.

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

Dragðu 28x-91y=-70 frá 28x-32y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

Leggðu 28x saman við -28x. Liðirnir 28x og -28x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-32y+91y=36+70$$

Leggðu -32y saman við 91y.

$$59y=36+70$$

Leggðu 36 saman við 70.

$$59y=106$$

Deildu báðum hliðum með 59.

$$y=\frac{106}{59}$$

Skiptu \frac{106}{59} út fyrir y í 4x-13y=-10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

Margfaldaðu -13 sinnum \frac{106}{59}.

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

Leggðu \frac{1378}{59} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{788}{59}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{197}{59}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$