Leysa {l}{7x-6y=-30}{x-4y=-20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 6 y = - 30 } \\ { x - 4 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x-6y=-30$$

Leggðu 6y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=6y-30$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(6y-30\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -30+6y.

$$x=\frac{6}{7}y-\frac{30}{7}$$

Settu \frac{-30+6y}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-4y=-20.

$$\frac{6}{7}y-\frac{30}{7}-4y=-20$$

Leggðu \frac{6y}{7} saman við -4y.

$$-\frac{22}{7}y-\frac{30}{7}=-20$$

Leggðu \frac{30}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{22}{7}y=-\frac{110}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{22}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=\frac{6}{7}y-\frac{30}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{6}{7}\times 5-\frac{30}{7}$$

Margfaldaðu \frac{6}{7} sinnum 5.

$$x=\frac{30-30}{7}$$

Leggðu -\frac{30}{7} saman við \frac{30}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}&\frac{7}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{1}{22}&-\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-30\right)-\frac{3}{11}\left(-20\right)\\\frac{1}{22}\left(-30\right)-\frac{7}{22}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

Til að gera 7x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$7x-6y=-30,7x+7\left(-4\right)y=7\left(-20\right)$$

Einfaldaðu.

$$7x-6y=-30,7x-28y=-140$$

Dragðu 7x-28y=-140 frá 7x-6y=-30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-7x-6y+28y=-30+140$$

Leggðu 7x saman við -7x. Liðirnir 7x og -7x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y+28y=-30+140$$

Leggðu -6y saman við 28y.

$$22y=-30+140$$

Leggðu -30 saman við 140.

$$22y=110$$

Deildu báðum hliðum með 22.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x-4y=-20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-4\times 5=-20$$

Margfaldaðu -4 sinnum 5.

$$x-20=-20$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=5$$