Leysa {l}{7x+2y=24}{8x+2y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { 8 x + 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=-9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+2y=24$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-2y+24$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Settu \frac{-2y+24}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x+2y=30.

$$8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=30$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{-2y+24}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{192}{7}+2y=30$$

Leggðu -\frac{16y}{7} saman við 2y.

$$-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}=30$$

Dragðu \frac{192}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{2}{7}y=\frac{18}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{2}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-9$$

Skiptu -9 út fyrir y í x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{24}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{7} sinnum -9.

$$x=\frac{18+24}{7}$$

Leggðu \frac{24}{7} saman við \frac{18}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-9$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\times 8}&-\frac{2}{7\times 2-2\times 8}\\-\frac{8}{7\times 2-2\times 8}&\frac{7}{7\times 2-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\4&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24+30\\4\times 24-\frac{7}{2}\times 30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=-9$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Dragðu 8x+2y=30 frá 7x+2y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-8x+2y-2y=24-30$$

Leggðu 2y saman við -2y. Liðirnir 2y og -2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7x-8x=24-30$$

Leggðu 7x saman við -8x.

$$-x=24-30$$

Leggðu 24 saman við -30.

$$-x=-6$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=6$$

Skiptu 6 út fyrir x í 8x+2y=30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$8\times 6+2y=30$$

Margfaldaðu 8 sinnum 6.

$$48+2y=30$$

Dragðu 48 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=-18$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-9$$