Leysa {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Leggðu saman -6 og 5 til að fá -1.

$$2x-1=y-1$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$2x-1-y=-1$$

Bættu 1 við báðar hliðar.

$$2x-y=-1+1$$

Leggðu saman -1 og 1 til að fá 0.

$$2x-y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+18y=43$$

Dragðu 18y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-18y+43$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -18y+43.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

Settu \frac{-18y+43}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-18y+43}{7}.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

Leggðu -\frac{36y}{7} saman við -y.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

Dragðu \frac{86}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{43}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{18}{7} sinnum 2.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

Leggðu \frac{43}{7} saman við -\frac{36}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Leggðu saman -6 og 5 til að fá -1.

$$2x-1=y-1$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$2x-1-y=-1$$

Bættu 1 við báðar hliðar.

$$2x-y=-1+1$$

Leggðu saman -1 og 1 til að fá 0.

$$2x-y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Leggðu saman -6 og 5 til að fá -1.

$$2x-1=y-1$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$2x-1-y=-1$$

Bættu 1 við báðar hliðar.

$$2x-y=-1+1$$

Leggðu saman -1 og 1 til að fá 0.

$$2x-y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Til að gera 7x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

Einfaldaðu.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

Dragðu 14x-7y=0 frá 14x+36y=86 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

Leggðu 14x saman við -14x. Liðirnir 14x og -14x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$36y+7y=86$$

Leggðu 36y saman við 7y.

$$43y=86$$

Deildu báðum hliðum með 43.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x-y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-2=0$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$