Leysa {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=-2$$

$$b=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$7a-10b=-64$$

Leggðu 10b saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7a=10b-64$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum 10b-64.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

Settu \frac{10b-64}{7} inn fyrir a í hinni jöfnunni, 3a+5b=19.

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{10b-64}{7}.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

Leggðu \frac{30b}{7} saman við 5b.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

Leggðu \frac{192}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{65}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=5$$

Skiptu 5 út fyrir b í a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

Margfaldaðu \frac{10}{7} sinnum 5.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

Leggðu -\frac{64}{7} saman við \frac{50}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-2,b=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=-2,b=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Til að gera 7a og 3a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

Einfaldaðu.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

Dragðu 21a+35b=133 frá 21a-30b=-192 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

Leggðu 21a saman við -21a. Liðirnir 21a og -21a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-30b-35b=-192-133$$

Leggðu -30b saman við -35b.

$$-65b=-192-133$$

Leggðu -192 saman við -133.

$$-65b=-325$$

Deildu báðum hliðum með -65.

$$b=5$$

Skiptu 5 út fyrir b í 3a+5b=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$3a+5\times 5=19$$

Margfaldaðu 5 sinnum 5.

$$3a+25=19$$

Dragðu 25 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3a=-6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$a=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-2,b=5$$