Leysa {l}{6x-5y=23}{7x+3y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = 23 } \\ { 7 x + 3 y = 71 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=8$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x-5y=23,7x+3y=71$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x-5y=23$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=5y+23$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+23\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum 5y+23.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}$$

Settu \frac{5y+23}{6} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+3y=71.

$$7\left(\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)+3y=71$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{5y+23}{6}.

$$\frac{35}{6}y+\frac{161}{6}+3y=71$$

Leggðu \frac{35y}{6} saman við 3y.

$$\frac{53}{6}y+\frac{161}{6}=71$$

Dragðu \frac{161}{6} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{53}{6}y=\frac{265}{6}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{53}{6}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{6}\times 5+\frac{23}{6}$$

Margfaldaðu \frac{5}{6} sinnum 5.

$$x=\frac{25+23}{6}$$

Leggðu \frac{23}{6} saman við \frac{25}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x-5y=23,7x+3y=71$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{6\times 3-\left(-5\times 7\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{5}{53}\\-\frac{7}{53}&\frac{6}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 23+\frac{5}{53}\times 71\\-\frac{7}{53}\times 23+\frac{6}{53}\times 71\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=8,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x-5y=23,7x+3y=71$$

Til að gera 6x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$7\times 6x+7\left(-5\right)y=7\times 23,6\times 7x+6\times 3y=6\times 71$$

Einfaldaðu.

$$42x-35y=161,42x+18y=426$$

Dragðu 42x+18y=426 frá 42x-35y=161 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$42x-42x-35y-18y=161-426$$

Leggðu 42x saman við -42x. Liðirnir 42x og -42x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-35y-18y=161-426$$

Leggðu -35y saman við -18y.

$$-53y=161-426$$

Leggðu 161 saman við -426.

$$-53y=-265$$

Deildu báðum hliðum með -53.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 7x+3y=71. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+3\times 5=71$$

Margfaldaðu 3 sinnum 5.

$$7x+15=71$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=56$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=5$$