Leysa {l}{6x-2y=4}{y=5x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x-2y=4$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=2y+4$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum 4+2y.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Settu \frac{2+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+y=3.

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{2+y}{3}.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

Leggðu -\frac{5y}{3} saman við y.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

Leggðu \frac{10}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{2}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{19}{2}$$

Skiptu -\frac{19}{2} út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -\frac{19}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við -\frac{19}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Til að gera 6x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

Einfaldaðu.

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

Dragðu -30x+6y=18 frá -30x+10y=-20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

Leggðu -30x saman við 30x. Liðirnir -30x og 30x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y-6y=-20-18$$

Leggðu 10y saman við -6y.

$$4y=-20-18$$

Leggðu -20 saman við -18.

$$4y=-38$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=-\frac{19}{2}$$

Skiptu -\frac{19}{2} út fyrir y í -5x+y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

Leggðu \frac{19}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$