Leysa {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x-18y=-85$$

Leggðu 18y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=18y-85$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum 18y-85.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

Settu 3y-\frac{85}{6} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 24x-5y=-5.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

Margfaldaðu 24 sinnum 3y-\frac{85}{6}.

$$72y-340-5y=-5$$

Leggðu 72y saman við -5y.

$$67y-340=-5$$

Leggðu 340 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$67y=335$$

Deildu báðum hliðum með 67.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=3y-\frac{85}{6}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

Margfaldaðu 3 sinnum 5.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

Leggðu -\frac{85}{6} saman við 15.

$$x=\frac{5}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Til að gera 6x og 24x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 24 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

Einfaldaðu.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

Dragðu 144x-30y=-30 frá 144x-432y=-2040 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

Leggðu 144x saman við -144x. Liðirnir 144x og -144x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-432y+30y=-2040+30$$

Leggðu -432y saman við 30y.

$$-402y=-2040+30$$

Leggðu -2040 saman við 30.

$$-402y=-2010$$

Deildu báðum hliðum með -402.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 24x-5y=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$24x-5\times 5=-5$$

Margfaldaðu -5 sinnum 5.

$$24x-25=-5$$

Leggðu 25 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$24x=20$$

Deildu báðum hliðum með 24.

$$x=\frac{5}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$