Leysa {l}{6x+y=-9}{2x-3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + y = - 9 } \\ { 2 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+y=-9$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-y-9$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y-9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -y-9.

$$x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}$$

Settu -\frac{y}{6}-\frac{3}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=7.

$$2\left(-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}\right)-3y=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{y}{6}-\frac{3}{2}.

$$-\frac{1}{3}y-3-3y=7$$

Leggðu -\frac{y}{3} saman við -3y.

$$-\frac{10}{3}y-3=7$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{10}{3}y=10$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{10}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-3\right)-\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{6} sinnum -3.

$$x=\frac{1-3}{2}$$

Leggðu -\frac{3}{2} saman við \frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{6\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{6\left(-3\right)-2}&\frac{6}{6\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\left(-9\right)+\frac{1}{20}\times 7\\\frac{1}{10}\left(-9\right)-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

Til að gera 6x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$2\times 6x+2y=2\left(-9\right),6\times 2x+6\left(-3\right)y=6\times 7$$

Einfaldaðu.

$$12x+2y=-18,12x-18y=42$$

Dragðu 12x-18y=42 frá 12x+2y=-18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+2y+18y=-18-42$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+18y=-18-42$$

Leggðu 2y saman við 18y.

$$20y=-18-42$$

Leggðu -18 saman við -42.

$$20y=-60$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 2x-3y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\left(-3\right)=7$$

Margfaldaðu -3 sinnum -3.

$$2x+9=7$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-3$$