Leysa {l}{6x+6y=6}{6x+3y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 6 y = 6 } \\ { 6 x + 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+6y=6$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-6y+6$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-6y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -6y+6.

$$x=-y+1$$

Settu -y+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+3y=-3.

$$6\left(-y+1\right)+3y=-3$$

Margfaldaðu 6 sinnum -y+1.

$$-6y+6+3y=-3$$

Leggðu -6y saman við 3y.

$$-3y+6=-3$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-9$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3+1$$

Leggðu 1 saman við -3.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-6\times 6}&-\frac{6}{6\times 3-6\times 6}\\-\frac{6}{6\times 3-6\times 6}&\frac{6}{6\times 3-6\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 6-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Dragðu 6x+3y=-3 frá 6x+6y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+6y-3y=6+3$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-3y=6+3$$

Leggðu 6y saman við -3y.

$$3y=6+3$$

Leggðu 6 saman við 3.

$$3y=9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 6x+3y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+3\times 3=-3$$

Margfaldaðu 3 sinnum 3.

$$6x+9=-3$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-12$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=3$$