Leysa {l}{6x+2y=300}{3x+5y=600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+2y=300$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-2y+300$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -2y+300.

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

Settu -\frac{y}{3}+50 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+5y=600.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{y}{3}+50.

$$-y+150+5y=600$$

Leggðu -y saman við 5y.

$$4y+150=600$$

Dragðu 150 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4y=450$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=\frac{225}{2}$$

Skiptu \frac{225}{2} út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+50. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum \frac{225}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

Leggðu 50 saman við -\frac{75}{2}.

$$x=\frac{25}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Til að gera 6x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

Einfaldaðu.

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

Dragðu 18x+30y=3600 frá 18x+6y=900 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

Leggðu 18x saman við -18x. Liðirnir 18x og -18x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-30y=900-3600$$

Leggðu 6y saman við -30y.

$$-24y=900-3600$$

Leggðu 900 saman við -3600.

$$-24y=-2700$$

Deildu báðum hliðum með -24.

$$y=\frac{225}{2}$$

Skiptu \frac{225}{2} út fyrir y í 3x+5y=600. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{225}{2}.

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

Dragðu \frac{1125}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{75}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{25}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$