Leysa {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=50$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+15y=360$$

Dragðu 15y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-15y+360$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -15y+360.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Settu -\frac{5y}{2}+60 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x+10y=440.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

Margfaldaðu 8 sinnum -\frac{5y}{2}+60.

$$-20y+480+10y=440$$

Leggðu -20y saman við 10y.

$$-10y+480=440$$

Dragðu 480 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10y=-40$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+60. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum 4.

$$x=-10+60$$

Leggðu 60 saman við -10.

$$x=50$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=50,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=50,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Til að gera 6x og 8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

Einfaldaðu.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

Dragðu 48x+60y=2640 frá 48x+120y=2880 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

Leggðu 48x saman við -48x. Liðirnir 48x og -48x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$120y-60y=2880-2640$$

Leggðu 120y saman við -60y.

$$60y=2880-2640$$

Leggðu 2880 saman við -2640.

$$60y=240$$

Deildu báðum hliðum með 60.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 8x+10y=440. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$8x+10\times 4=440$$

Margfaldaðu 10 sinnum 4.

$$8x+40=440$$

Dragðu 40 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=400$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=50$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=50,y=4$$