Leysa {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir u, v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu u með því að einangra u vinstra megin við samasemmerkið.

$$6u+4v=5$$

Dragðu 4v frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6u=-4v+5$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -4v+5.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

Settu -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} inn fyrir u í hinni jöfnunni, 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

Margfaldaðu 9 sinnum -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

Leggðu -6v saman við -8v.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

Dragðu \frac{15}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -14.

$$v=\frac{1}{4}$$

Skiptu \frac{1}{4} út fyrir v í u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst u strax.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum \frac{1}{4} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

Leggðu \frac{5}{6} saman við -\frac{1}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$u=\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna u og v.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Til að gera 6u og 9u jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

Einfaldaðu.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

Dragðu 54u-48v=24 frá 54u+36v=45 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

Leggðu 54u saman við -54u. Liðirnir 54u og -54u núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$36v+48v=45-24$$

Leggðu 36v saman við 48v.

$$84v=45-24$$

Leggðu 45 saman við -24.

$$84v=21$$

Deildu báðum hliðum með 84.

$$v=\frac{1}{4}$$

Skiptu \frac{1}{4} út fyrir v í 9u-8v=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst u strax.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

Margfaldaðu -8 sinnum \frac{1}{4}.

$$9u-2=4$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9u=6$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$u=\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$