Leysa {l}{6+2a+b=0}{24-4a+b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 + 2 a + b = 0 } \\ { 24 - 4 a + b = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=3$$

$$b=-12$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$2a+b+6=0$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2a+b=-6$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2a=-b-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b-6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -b-6.

$$a=-\frac{1}{2}b-3$$

Settu -\frac{b}{2}-3 inn fyrir a í hinni jöfnunni, -4a+b+24=0.

$$-4\left(-\frac{1}{2}b-3\right)+b+24=0$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{b}{2}-3.

$$2b+12+b+24=0$$

Leggðu 2b saman við b.

$$3b+12+24=0$$

Leggðu 12 saman við 24.

$$3b+36=0$$

Dragðu 36 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3b=-36$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$b=-12$$

Skiptu -12 út fyrir b í a=-\frac{1}{2}b-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-12\right)-3$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -12.

$$a=6-3$$

Leggðu -3 saman við 6.

$$a=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3,b=-12$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-4\right)}&\frac{2}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)-\frac{1}{6}\left(-24\right)\\\frac{2}{3}\left(-6\right)+\frac{1}{3}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=3,b=-12$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Dragðu -4a+b+24=0 frá 2a+b+6=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2a+4a+b-b+6-24=0$$

Leggðu b saman við -b. Liðirnir b og -b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2a+4a+6-24=0$$

Leggðu 2a saman við 4a.

$$6a+6-24=0$$

Leggðu 6 saman við -24.

$$6a-18=0$$

Leggðu 18 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6a=18$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$a=3$$

Skiptu 3 út fyrir a í -4a+b+24=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$-4\times 3+b+24=0$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$-12+b+24=0$$

Leggðu -12 saman við 24.

$$b+12=0$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$b=-12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3,b=-12$$