Leysa {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=-100$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$50x+y=200$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$50x=-y+200$$

Deildu báðum hliðum með 50.

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{50} sinnum -y+200.

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

Settu -\frac{y}{50}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 60x+y=260.

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

Margfaldaðu 60 sinnum -\frac{y}{50}+4.

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

Leggðu -\frac{6y}{5} saman við y.

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

Dragðu 240 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{5}y=20$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -5.

$$y=-100$$

Skiptu -100 út fyrir y í x=-\frac{1}{50}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

Margfaldaðu -\frac{1}{50} sinnum -100.

$$x=2+4$$

Leggðu 4 saman við 2.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-100$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=-100$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Dragðu 60x+y=260 frá 50x+y=200 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$50x-60x+y-y=200-260$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$50x-60x=200-260$$

Leggðu 50x saman við -60x.

$$-10x=200-260$$

Leggðu 200 saman við -260.

$$-10x=-60$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$x=6$$

Skiptu 6 út fyrir x í 60x+y=260. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$60\times 6+y=260$$

Margfaldaðu 60 sinnum 6.

$$360+y=260$$

Dragðu 360 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-100$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-100$$