Leysa {l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, z

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$5y-4z=-1$$

Leggðu 4z saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5y=4z-1$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 4z-1.

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

Settu \frac{4z-1}{5} inn fyrir y í hinni jöfnunni, -7y+7z=9.

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

Margfaldaðu -7 sinnum \frac{4z-1}{5}.

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

Leggðu -\frac{28z}{5} saman við 7z.

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

Dragðu \frac{7}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$z=\frac{38}{7}$$

Skiptu \frac{38}{7} út fyrir z í y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

Margfaldaðu \frac{4}{5} sinnum \frac{38}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

Leggðu -\frac{1}{5} saman við \frac{152}{35} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=\frac{29}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og z.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Til að gera 5y og -7y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

Einfaldaðu.

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

Dragðu -35y+35z=45 frá -35y+28z=7 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

Leggðu -35y saman við 35y. Liðirnir -35y og 35y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$28z-35z=7-45$$

Leggðu 28z saman við -35z.

$$-7z=7-45$$

Leggðu 7 saman við -45.

$$-7z=-38$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$z=\frac{38}{7}$$

Skiptu \frac{38}{7} út fyrir z í -7y+7z=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{38}{7}.

$$-7y+38=9$$

Dragðu 38 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7y=-29$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=\frac{29}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$