Leysa {l}{5x-y=5}{y=1/5x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667$$

$$y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{5}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-y=5$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=y+5$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum y+5.

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

Settu \frac{y}{5}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -\frac{1}{5}x+y=0.

$$-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum \frac{y}{5}+1.

$$-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0$$

Leggðu -\frac{y}{25} saman við y.

$$\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0$$

Leggðu \frac{1}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{24}{25}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{5}{24}$$

Skiptu \frac{5}{24} út fyrir y í x=\frac{1}{5}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum \frac{5}{24} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{1}{24}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{1}{24}.

$$x=\frac{25}{24}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{5}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{5}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Til að gera 5x og -\frac{x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -\frac{1}{5} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0$$

Einfaldaðu.

$$-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0$$

Dragðu -x+5y=0 frá -x+\frac{1}{5}y=-1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Leggðu -x saman við x. Liðirnir -x og x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Leggðu \frac{y}{5} saman við -5y.

$$-\frac{24}{5}y=-1$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{24}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{5}{24}$$

Skiptu \frac{5}{24} út fyrir y í -\frac{1}{5}x+y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0$$

Dragðu \frac{5}{24} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -5.

$$x=\frac{25}{24}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$