Leysa {l}{5x-8y=4}{-3x+y=-0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 8 y = 4 } \\ { - 3 x + y = - 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{4}{19}\approx -0.210526316$$

$$y=-\frac{12}{19}\approx -0.631578947$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-8y=4,-3x+y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-8y=4$$

Leggðu 8y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=8y+4$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(8y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 8y+4.

$$x=\frac{8}{5}y+\frac{4}{5}$$

Settu \frac{8y+4}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+y=0.

$$-3\left(\frac{8}{5}y+\frac{4}{5}\right)+y=0$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{8y+4}{5}.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{12}{5}+y=0$$

Leggðu -\frac{24y}{5} saman við y.

$$-\frac{19}{5}y-\frac{12}{5}=0$$

Leggðu \frac{12}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{19}{5}y=\frac{12}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{19}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{12}{19}$$

Skiptu -\frac{12}{19} út fyrir y í x=\frac{8}{5}y+\frac{4}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{8}{5}\left(-\frac{12}{19}\right)+\frac{4}{5}$$

Margfaldaðu \frac{8}{5} sinnum -\frac{12}{19} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{96}{95}+\frac{4}{5}$$

Leggðu \frac{4}{5} saman við -\frac{96}{95} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{4}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{4}{19},y=-\frac{12}{19}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-8y=4,-3x+y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-8\left(-3\right)\right)}&-\frac{-8}{5-\left(-8\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-8\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-8\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&-\frac{8}{19}\\-\frac{3}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 4\\-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\\-\frac{12}{19}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{4}{19},y=-\frac{12}{19}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-8y=4,-3x+y=0$$

Til að gera 5x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-3\times 5x-3\left(-8\right)y=-3\times 4,5\left(-3\right)x+5y=0$$

Einfaldaðu.

$$-15x+24y=-12,-15x+5y=0$$

Dragðu -15x+5y=0 frá -15x+24y=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-15x+15x+24y-5y=-12$$

Leggðu -15x saman við 15x. Liðirnir -15x og 15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$24y-5y=-12$$

Leggðu 24y saman við -5y.

$$19y=-12$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$y=-\frac{12}{19}$$

Skiptu -\frac{12}{19} út fyrir y í -3x+y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x-\frac{12}{19}=0$$

Leggðu \frac{12}{19} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3x=\frac{12}{19}$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-\frac{4}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{4}{19},y=-\frac{12}{19}$$