Leysa {l}{5x-6y=34}{11x+9y=-14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 34 } \\ { 11 x + 9 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-6y=34,11x+9y=-14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-6y=34$$

Leggðu 6y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=6y+34$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+34\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 6y+34.

$$x=\frac{6}{5}y+\frac{34}{5}$$

Settu \frac{6y+34}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 11x+9y=-14.

$$11\left(\frac{6}{5}y+\frac{34}{5}\right)+9y=-14$$

Margfaldaðu 11 sinnum \frac{6y+34}{5}.

$$\frac{66}{5}y+\frac{374}{5}+9y=-14$$

Leggðu \frac{66y}{5} saman við 9y.

$$\frac{111}{5}y+\frac{374}{5}=-14$$

Dragðu \frac{374}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{111}{5}y=-\frac{444}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{111}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=\frac{6}{5}y+\frac{34}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{6}{5}\left(-4\right)+\frac{34}{5}$$

Margfaldaðu \frac{6}{5} sinnum -4.

$$x=\frac{-24+34}{5}$$

Leggðu \frac{34}{5} saman við -\frac{24}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-6y=34,11x+9y=-14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-6\times 11\right)}&-\frac{-6}{5\times 9-\left(-6\times 11\right)}\\-\frac{11}{5\times 9-\left(-6\times 11\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-6\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{37}&\frac{2}{37}\\-\frac{11}{111}&\frac{5}{111}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{37}\times 34+\frac{2}{37}\left(-14\right)\\-\frac{11}{111}\times 34+\frac{5}{111}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-6y=34,11x+9y=-14$$

Til að gera 5x og 11x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 11 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$11\times 5x+11\left(-6\right)y=11\times 34,5\times 11x+5\times 9y=5\left(-14\right)$$

Einfaldaðu.

$$55x-66y=374,55x+45y=-70$$

Dragðu 55x+45y=-70 frá 55x-66y=374 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$55x-55x-66y-45y=374+70$$

Leggðu 55x saman við -55x. Liðirnir 55x og -55x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-66y-45y=374+70$$

Leggðu -66y saman við -45y.

$$-111y=374+70$$

Leggðu 374 saman við 70.

$$-111y=444$$

Deildu báðum hliðum með -111.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í 11x+9y=-14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$11x+9\left(-4\right)=-14$$

Margfaldaðu 9 sinnum -4.

$$11x-36=-14$$

Leggðu 36 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$11x=22$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-4$$