Leysa {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 19y frá báðum hliðum.

$$5x-4y-19y=0$$

Sameinaðu -4y og -19y til að fá -23y.

$$5x-23y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-23y=0$$

Leggðu 23y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=23y$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 23y.

$$x=\frac{23}{5}y$$

Settu \frac{23y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+2y=71.

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{23y}{5}.

$$23y+2y=71$$

Leggðu 23y saman við 2y.

$$25y=71$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$y=\frac{71}{25}$$

Skiptu \frac{71}{25} út fyrir y í x=\frac{23}{5}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

Margfaldaðu \frac{23}{5} sinnum \frac{71}{25} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 19y frá báðum hliðum.

$$5x-4y-19y=0$$

Sameinaðu -4y og -19y til að fá -23y.

$$5x-23y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 19y frá báðum hliðum.

$$5x-4y-19y=0$$

Sameinaðu -4y og -19y til að fá -23y.

$$5x-23y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Dragðu 5x+2y=71 frá 5x-23y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-23y-2y=-71$$

Leggðu -23y saman við -2y.

$$-25y=-71$$

Deildu báðum hliðum með -25.

$$y=\frac{71}{25}$$

Skiptu \frac{71}{25} út fyrir y í 5x+2y=71. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{71}{25}.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

Dragðu \frac{142}{25} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$