Leysa {l}{5x-4y=11}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-4y=11$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=4y+11$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 4y+11.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

Settu \frac{4y+11}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=7.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{4y+11}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

Leggðu \frac{12y}{5} saman við 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

Dragðu \frac{33}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{22}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{1}{11}$$

Skiptu \frac{1}{11} út fyrir y í x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

Margfaldaðu \frac{4}{5} sinnum \frac{1}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

Leggðu \frac{11}{5} saman við \frac{4}{55} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{25}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

Einfaldaðu.

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

Dragðu 15x+10y=35 frá 15x-12y=33 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y-10y=33-35$$

Leggðu -12y saman við -10y.

$$-22y=33-35$$

Leggðu 33 saman við -35.

$$-22y=-2$$

Deildu báðum hliðum með -22.

$$y=\frac{1}{11}$$

Skiptu \frac{1}{11} út fyrir y í 3x+2y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{1}{11}.

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

Dragðu \frac{2}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{75}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{25}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$